发生了什么
- Wired 于2026年11月8日在 Quanta Magazine 的许可下刊出了这篇报道，讲述数学家 Ronald Graham 在1971年提出的重排猜想是如何被解决的。
- 问题是：给定一组非零的数，能否总是把它们排成一个顺序，使部分和（前两个数之和、前三个数之和，依此类推）全都不同？
- 如果这些数全是正数，或者既有正数又有负数，答案早已是肯定的。Graham 问的是在有限的“钟表”数字世界里会怎样，这些数每过一个素数 p 就会重复。
- 证明分四篇论文完成。最后一篇由 Lisa Sauermann（波恩）和 Huy Tuan Pham（芝加哥）撰写，于2026年2月发表，终结了这个问题。
为什么重要
这一证明确认，即使在这些刚性的设定中，有序结构也总是存在。普林斯顿的 Noga Alon 把它与关于设计和高度对称结构的其他问题联系起来。
这一结果来自不同的人分别研究问题的不同部分：几乎和 p 一样大的集合、极小的集合，以及中等大小的集合。这个证明出自人类之手，而不是由机器得出，这也是故事的一部分。
关键数字
55年。 这是从1971年 Graham 提出问题，到2026年2月最后一篇论文发表之间的时间。其间的工作包括2022年（Müyesser 和 Pokrovskiy）、2024年9月（Kravitz 和 Bedert）以及2025年8月（一个扩大的团队）。
背景
每种情形都需要不同的技术。对于几乎和 p 一样大的集合，Müyesser 和 Alexey Pokrovskiy 从随机排序出发：他们先留出一些数，把其余的打乱，找出和为零的片段，再用预留的数加以修正。Noah Kravitz 和 Benjamin Bedert 攻克了小集合，例如 p 等于十亿时的100个数。
还剩下一个缺口：中等大小的集合，其元素个数约为 p 的一半。Sauermann 和 Pham 用一种技术要求很高的方法，即所谓的反集中，补上了这个缺口，它断言某个事件发生的概率很低。据 Kravitz 说，数学家们知道这条路，但一直不敢尝试。
这个证明并没有解决一切：这一猜想对所有 p 是否成立仍有待尝试，而且它对编排真实的杂耍表演没有用处，因为 p 会大得不现实。Graham 是一位杂耍者，这个类比是：每个球在空中停留的时间各不相同，且不会在同一拍落地。
在 Mamífero，我们一直关注数学领域的进展。一项 AI 辅助的证明解决了2008年关于量子优势的问题，Axiom 用智能体验证了 Stacks Project，顶叶皮层根据估计的范围重新调整数字编码，折纸结构用三种状态进行计算。
接下来
- 数学家可以尝试对所有 p 解决这一猜想，而不只是已覆盖的情形。
- 反集中技术仍可作为解决其他组合数学问题的工具。
- Graham 的同事 Chung 说，她会“非常高兴”看到这个问题得到解决。
一句话总结
这是一个关于合作的故事：来自很少交叉的领域的人们，分头解决了一个悬而未决半个世纪的问题。它的价值不止于定理本身，因为它留下了可用于其他问题的随机性和组合数学方法。
来源
- Wired（转载自 Quanta Magazine），“A 55-Year-Old Math Problem Was Solved—This Time by Humans”，2026年11月8日，链接。
- 封面图片：来自加拿大 Kenora 的 Marcus Jeffrey，CC BY-SA 2.0，来自 Wikimedia Commons
编辑：Rodrigo Cornejo。我们如何挑选和核实：谁在写这些笔记。
.jpg){kind=link}